一道数列题目

1.定义:在数列{an}中,若{an}^2-{an-1}^2=p,(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的有关判断:①若{a... 1.定义:在数列{an}中,若{an}^2-{an-1}^2=p,(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的有关判断: ①若{an}是“等方差数列”,则数列{an2}是等差数列; ②{(-1)^n}是“等方差数列”; ③若{an}是“等方差数列”,则数列{akn}(k∈N*,k为常数)也是“等方差数列”; ④若{an}既是“等方差数列”,又是等差数列,则该数列是常数数列.其中判断正确的序号是 .

说明:{akn} kn为下标 {an-1} n-1为下标
谁能帮我证明下第③个
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绿水青山总有情
2010-12-13 · TA获得超过8719个赞
知道大有可为答主
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数列{an}中的项列举出来是:a1,a2,.....ak,ak+1,ak+2,....a2k......a3k......
数列{akn}中的项列举出来是:ak, a2k a3k.....
因为 ak+1^2-ak^2=ak+2^2-ak+1^2=ak+3^2-ak+2^2=.......=a2k^2-a2k-1^2=p
所以 (ak+1^2-ak^2)+( ak+2^2-ak+1^2)+( ak+3^2-ak+2^2)+...+( a2k^2-a2k-1^2)=a2k^2-ak^2=kp

类似地有
(akn^2-akn-1^2)=(akn-1^2-akn-2^2)=........=(akn+3^2-akn+2^2)=akn+2^2-akn+1^2=akn+1^2-akn^2=p
同上连加可得
akn+1^2-akn^2=kp
所以,数列{akn}是等方差数列
mmmmmjjjuuu
2010-12-13 · TA获得超过116个赞
知道答主
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思路:等差数列本身就像是一个一个的上台阶,每个台阶一样高;等方差也不例外(只是把台阶从an换成了an^2而已);如果换成kn, 就是一次上k个台阶,显然也是等方差数列。
数学语言表达思路:设{an}^2-{a(n-1)}^2=p;
则ak(n+1) ^2 - akn ^2
={ ak(n+1) ^2 - a[k(n+1)-1] ^2 } + { a[k(n+1)-1] ^2 - a[k(n+1)-2] ^2} + … +[a(kn+1) ^2 - akn^2]
=kp;
这显然已经符合了等方差数列的要求~
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