Question

数学题，圆的，在线等~~~~快~~~~

28. 等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1,∠ABC=900, ⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5。现两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB,BC又以每秒0.5个单位沿BA,BC方向增大。
（1） △ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
（2） 从△ABC的边与圆第一次相切到最后一次相切，共经过多少时间？
（3） 是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形各运动了多少时间；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：△与○的相切，共有4次：第一次，为○在右侧与AC相切；第二次为○在右侧与AB相切；第三次为○在左侧，与AC相切；第四次为○在左侧，与AB相切（排序依据后面的详细计算）

当第一次相切时，如图1所示：OE⊥AC OD⊥BC ∴∠EOD=45°

ED=OD=1  OE=√2  EF=OE-OF=√2-1 

⊿CEF中，EC=√2EF=√2(√2-1)=2-√2  

∴CD=ED-EC=1-(2-√2)= √2-1

C点与D点的位置变化，属于追击问题。移动前，CD=5-BC=5-1=4

①第一次相切时，4-CD=[(2-1)+0.5]t  t=(8-2√2)/3

②第二次相切时，如图2：（2-1）t=5-1  t=4

③第三次相切时，如图2：DC=DE=OD+OE=1+√2OQ=√2+1

移动前，CD=4,相切时，DC=√2+1,

4+(√2+1)= [(2-1)+0.5]t  t=（10+2√2）/3

④第四次相切时，5+1= (2-1)t  t=6

（1） △ABC的边与圆第一次相切时，点B运动距离：

2*t=2*(8-2√2)/3=(16-4√2)/3

（2） △与圆第一次相切到最后一次相切，共经过时间：

t4-t1=（10+2√2）/3-(8-2√2)/3=（2+4√2）/3

（3） 从相切的时间关系可以看出，AC与○相切在AB与○相切之后，∴不可能存在△将○包含在内的情况。

（4） 第三问的另一种解：假设存在○包含在△内的阶段，则满足该条件时，必须使（如图2）：

OF≥1,即BC=BD+DC≥1+（√2+1）=√2+2

当BC≥√2+2时，√2+2=1+0.5t   t=2√2+2＞4

其实早在t=4时，AB于○已经相切，即不存在△将○包含在内的情况。

Answer 2

晚上见