Question

一个等腰梯形的上底于下底的和为4，且它的两个对角线的夹角为60°，求这个等腰梯形的面积

一个等腰梯形的上底于下底的和为4，且它的两个对角线的夹角为60°，求这个等腰梯形的面积

Answer 1

画图后，等腰梯形ABCD AC BD交于E点 AD+BC=4 角BEC=60度
解：过D作DF//AC交BC延长线于F点
因为 AD//BC 所以 ACDF是平行四边形 AD=CF AC=DF AC//DF 角BDF=60度
又因为： AC=BD 所以 BD=DF
所以 三角形BDF是等边三角形 边长=BC+CF=4
过D作DH垂直BC 交于H点 可得角BDH=30度
所以BD=2*BH=4 （30度角所对的直角边是斜边的一半）
在直角三角形BDH中，利用勾股定理可得 DH=2倍的根号3
所以三角形BDF面积=BF*DF/2=2倍的根号3*4/2=4倍的根号3
梯形ABCD面积=三角形BDF面积=4倍的根号3
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Answer 2

过上底的顶点，作对角线的平行线
可以得到一个等边三角形
这个等边三角形的面积就等于梯形的面积
易得等边三角形的边长为4
所以三角形的面积为4根号3
所以梯形的面积=4根号3

Answer 3

将对角线平移后两底的和可成为三角的底边
对角线的夹角为60°，所以平移后的三角形为等边三角形且和等腰梯形的面积相等
可得1/2×4√3/2
这个等腰梯形的面积为 √3

Answer 4

过D作DF//AC交BC延长线于F点
∵AD//BC
∴ACDF是平行四边形
∴AD=CF AC=DF AC//DF
∠BDF=60°
又∵AC=BD
∴BD=DF
∴三角形BDF是等边三角形
边长=BC+CF=4
过D作DH垂直BC 交于H点 可得角BDH=30度
∴BD=2*BH=4 （30度角所对的直角边是斜边的一半）
在直角三角形BDH中，利用勾股定理可得 DH=2倍的根号3
∴S△BDF=BF*DF/2=2倍的根号3*4/2=4根号3
S梯形ABCD=S△BDF=4倍根号3

Answer 5

因为没法画图，简单文字回答：
1。设梯形ABCD(上底为AB,顺时针标）上底长为a,则下底为4-a
2.做梯形内对角线AC和BD相交于E,从点B做垂直线相交CD于F（BF就是梯形的高）
3。因为是等腰梯形，且对角线夹角为60度，所以三角形ABE和三角形CDE都为等边三角形
所以BE=AB=a , DE=CD=4-a ,得出BD=BE+DE=a+(4-a)=4
4.因为角ABD和角BDC都是60度，所以角DBF为30度。sin30=1/2, DF=2,根据勾股定律，BF=2根号3
5。所以梯形面积=4/2 x2根号3=4根号3