Question

图是两个同心圆被其两条半径所截得到的图形。已知AB弧的长为l，A1B1弧的长为l1，AA1=d。

求证（1）∠O=【(l-l1)÷d】180÷π度；（2）面积ABB1A1=[（l+l1)d]÷2

Answer 1

证明：由圆心角的弧度公式：∠O的弧度=L÷OA ,
所以， L=OA*∠O的弧度----------------------(1)
同理：L1=OA1*∠O的弧度---------------------(2)
(1)-(2)得：L-L1=(OA-OA1)*∠O的弧度=d*∠O的弧度
所以， ∠O的弧度=(L-L1)÷d
因为，1弧度=180÷π度
所以 ∠O=【(L-L1)÷d】*180÷π度
（2）面积ABB1A1=S扇形OAB－S扇形OA1B1=L*OA÷2－L1*OA1÷2
因为：OA1=OA－d
所以，面积ABB1A1=L*OA÷2－L1*(OA-d)÷2=[(L-L1)*OA+L1*d]÷2--------------(3)
由第一小题中(2)÷(1)得：L1÷L=OA1÷OA
根据分比公式：(L-L1)÷L=(OA-OA1)÷OA
所以 (L-L1)÷L=d÷OA
即：(L-L1)*OA=L*d 代入（3）式得：
面积ABB1A1=[(L-L1)*OA+L1*d]÷2==(L*d+L1*d)÷2=[(L+L1)*d]÷2
《证毕》！