用极限连续的方法证明，求过程
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证明:
设f(x)=x^3+4x^2-3x-1
f'(x)=3x^2+8x-3
令f'(x)>0得,x>1/3,或x<-3,又-1<x<1
所以在(1/3,1)内函数单调增,在(-1,1/3)内函数单调减.
易知函数在[-1,1/3]和[1/3,1]连续,且
f(-1)=5>0,f(1/3)=-41/27<0,即f(-1)与f(1/3)异号,那么在开区间(-1,1/3)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(-1<ξ1/3)使
f(ξ)=0
因为函数在(-1,1/3)是单调减的,所以在(-1,1/3)只存在一点ξ使得f(ξ)=0
同理,由于f(1)=1,f(1/3)=-41/27,f(1)与f(1/3)异号,在(1/3,1)内也只存在一点η,使得f(η)=0
所以在(-1,1)只有两个点ξ和η使得f(x)=0
使f(x)=0两个实根
设f(x)=x^3+4x^2-3x-1
f'(x)=3x^2+8x-3
令f'(x)>0得,x>1/3,或x<-3,又-1<x<1
所以在(1/3,1)内函数单调增,在(-1,1/3)内函数单调减.
易知函数在[-1,1/3]和[1/3,1]连续,且
f(-1)=5>0,f(1/3)=-41/27<0,即f(-1)与f(1/3)异号,那么在开区间(-1,1/3)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(-1<ξ1/3)使
f(ξ)=0
因为函数在(-1,1/3)是单调减的,所以在(-1,1/3)只存在一点ξ使得f(ξ)=0
同理,由于f(1)=1,f(1/3)=-41/27,f(1)与f(1/3)异号,在(1/3,1)内也只存在一点η,使得f(η)=0
所以在(-1,1)只有两个点ξ和η使得f(x)=0
使f(x)=0两个实根
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