Question

高三数学：a>b>0,c属于R,2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2的最小值是多少？求详解

Answer 1

2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2=a^2+1/ab+1/a(a-b)+(a^2-4c)^2
》a^2+1/ab+1/a(a-b)=a^2+1/b(a-b)=[(a-b)-b]^2+1/b(a-b)=(a-b)^2+b^2-2(a-b)b+1/b(a-b)
》2(a-b)b+2(a-b)b+1/b(a-b)=4(a-b)b+1/b(a-b)》4 ，所以最小值是4
当且仅当a-b=b，4(a-b)b=1/b(a-b时取等号

Answer 2

解：易知，原式可以“凑形”为三个部分：原式=（2c-a)²+{ab+[1/(ab)]}+{a(a-b)+[1/a(a-b)]}.∵a＞b＞0.∴ab＞0,a(a-b)＞0.∴由基本不等式可得:ab+(1/ab)≥2.且a(a-b)+[1/a(a-b)]≥2.又(2c-a)²≥0.三个式子中的等号仅当ab=1,a(a-b)=1.2c-a=0时取得，即当a=√2,b=c=√2/2时取得。∴三式相加就得(2c-a)²+{ab+[1/ab]}+{a(a-b)+[1/a(a-b)]}≥4.∴原式min=4.