Question

级数x^n/√n的收敛域

Answer 1

对级数 ∑[√(n+1)-√n]x?，由于
|[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]|
= [√(n+1)+√n]/[√(n+2)+√(n+1)]
→ 1 (n→∞)，
得知该级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1,1)。而在 x=-1，级数为
∑[√(n+1)-√n](-1)? = ∑(-1)?/[√(n+1)+√n]，
是 Leibniz 型级数，是收敛的；在 x=1，级数为
∑[√(n+1)-√n] = ∑{1/[√(n+1)+√n]}，
是发散的（与调和级数比较）。
综上，该级数的收敛区域为 [-1,1)。