Question

关于线性变换的一道证明题

证明：如果σ1，σ2，…，σs是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中存在向量α，使σ1α，σ2α，…，σsα也两两不同。
恩 有个问题我没有想明白 就是比如说找到了a使得σma- σna≠0 又可以找到b使得σmb- σnb≠0 但是不能保证符合a=b 如何能证明同一个a就能使那s个量两两不同呢

Answer 1

这个是一道类似题的证明，除了表示的字母不一样外其他都是一样的。

Answer 2

任意m、n∈[1，s]，当m≠n时，有σm-σn≠{0}

任取a∈V，只要a≠0且不与（σm-σn）垂直，必有（σm-σn)a≠{0}，即σma- σna≠0,也就是σma与σna不同，由m、n的任意性可知σ1α，σ2α，…，σsα也两两不同。

即V中存在向量a，使σ1α，σ2α，…，σsα也两两不同。