Question

设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,且f((a+b)/2)=0证明|∫ab f(x)|<=1

设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,且f((a+b)/2)=0证明|∫ab f(x)|<=1/8(b-a)^2∫ab |f''(x)|dx

Answer 1

将f(x)在任意x∈(a,b)点处泰勒展开
f(a)=f(x)+f'(x)*(a-x)+f''(ξ)/2*(a-x)^2，其中ξ介于x和a之间
f(x)=f'(x)*(x-a)-f''(ξ)/2*(x-a)^2
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f'(x)*(x-a)dx-∫(a,b)f''(ξ)/2*(x-a)^2dx
=∫(a,b)(x-a)d[f(x)]-f''(ξ)/6*(x-a)^3|(a,b)
=(x-a)f(x)|(a,b)-∫(a,b)f(x)dx-f''(ξ)/6*(b-a)^3
所以∫(a,b)f(x)dx=-f''(ξ)/12*(b-a)^3
因为|f''(ξ)|<=M
所以|∫(a,b)f(x)dx|<=M/12*(b-a)^3