Question

求下列函数在其孤立奇点处的留数：f(z)=1/z{1/(z+1)+…+1/[(z+1)^n]},n为正整数.

Answer 1

易证f(z)的孤立奇点为z=0和z=-1,且都是极点.
对於z=0,它是一级极点,所以Res[f(z),0]=lim(z→0)zf(z)=1/(0+1)+1/(0+1)²+...+1/(0+1)^n=n
对於z=-1,它是n级极点,套公式很复杂,所以就直接展开成洛朗级数.
大括号里面的项已经是在z=-1展开成了洛朗级数,
而1/z=1/(z+1-1)
=-1/[1-(z+1)]
=-1/(z+1)-1/(z+1)²-...
利用多项式乘法可知1/(z+1)这一项是没有的,系数为0,所以留数就是0

Answer 2