Question

反常积分，∫dx/(x^p(lnx)^q)，从1到正无穷

Answer 1

分享一种解法，转化成伽玛函数【Γ(x)】求解。设lnx=t，∴原式=∫(0,∞)[t^(-q)]e^(t-pt)dt。
根据伽玛函数的定义，当1-q>0、1-p<0，即q<1、p>1时，积分收敛，其值为[(p-1)^(q-1)]Γ(1-q)。而，当(p,q)∉{q<1、p>1}时，积分发散。
供参考。

追问

不知道伽马函数额，有没有正常一点的方法。。

追答

就是欧拉II型积分，教科书中应该有的。仔细想了好久，这样求解最“简洁”的了。

追问

本人大一，只有数学分析上册水平。。。

追答

伽玛函数【欧拉II积分】和贝塔函数【欧拉I积分】是数学分析中必讲的内容之一。可能你还没有学到这里来吧。

追问

能就用反常积分的方法做吗。。。

追答

理论上可以，但没有想到简洁一些的解法。事实上，伽玛函数【欧拉II积分】和贝塔函数【欧拉I积分】本身就是一种类型的反常积分，而本题中的被积函数类型又可以转换成伽玛函数的类型，故，把它当“定理”使用了。