Question

级数求和。先导后积怎么积？

Answer 1

设t=x/2。∴原式=S(t)=∑(1/n)t^n，n=1,2，……，∞。
由S(t)两边对t求导、在丨t丨<1时，有S'(t)=∑t^(n-1)=1/(1-t)。
又，S(0)=0，∴S(t)=∫(0,t)S'(t)dt=-ln(1-t)。
∴原式=-ln(1-x/2)=ln2-ln(2-x)，其中，丨x/2丨<1。
供参考。

Answer 2

S'（x）=½∑（x/2）^（n-1）
=½1/（1-x/2）=1/（2-x）
（丨x/2丨<1）
S（x）=∫〈0，x〉1/（2-t）dt
=-ln（2-t）|〈0，x〉
=ln2-ln（2-x）
=ln2/（2-x）