Question

高等数学，数列的极限，数列极限的定义中的N为什么与给定的正数ε有关？

Answer 1

N和ε的关系是，假如你说这个极限Xn趋近于5。

你说当我n超大的时候，大于你给出任何一个正数N的时候，你再随便给我一个最小最小的数，我用Xn-5得到的值比这个最小最小的数都小，那么在数学上这好像就是趋近于0了，就说明Xn的极限就是5了。

数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

存在的条件：

单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。

Answer 2

我学高数老师帮助我们理解的方法是这样。
N和ε的关系是，假如你说这个极限Xn趋近于5，怎么证明呢？你说当我n超大的时候，大于你给出任何一个正数N的时候，你再随便给我一个最小最小的数，我用Xn-5得到的值比这个最小最小的数都小，那么在数学上这好像就是趋近于0了，就说明Xn的极限就是5了。
好理解了点吗？

Answer 3

楼上的人乱讲，这个数是一个精度，表示足够小的数，例如1,100,1000明显是很大的数，不可以取！ε是一个足够小的数，小极了！你要问我小到什么程度？太小了，我说不出来有多小。这样解释能理解的吧？？

Answer 4

无穷小与有界函数的极限存在，但是极限为1的数列与极限为无穷的数列乘积不一定存在。
举个反例an=1+1/n
当n趋于无穷时数列an的极限为1
bn=n
bn的极限为无穷
乘积anbn=n+1，极限不存在