Question

一个高数问题

s(x)=∑(x^n)/n=-ln(1-x)
为什么不是 -ln|1-x|
为什么绝对值不要了？

Answer 1

问的好!
首先，如果x>=1 也就是公比>=1的等比数列！
那么：∑(x^n)/n就是发散的。
其和为:
x*∫[1*(1-x^n)]/(1-x)dx
注意此时，limx^n≠0. 所以
=x∫(1-x^n)/(1-x)dx
如果 |x|<1 则就满足条件了，limx^n=0
∫(1-x^n)/(1-x)dx=∫1/(1-x)dx =-ln(1-x)
自然的定义了定义域

Answer 2

题主所述级数是-ln(1-x)在x0=0处的泰勒展开式。而在实数域内，ln(x-1)不能在x=0处进行泰勒展开，首先函数值就没有意义：ln(0-1)=i*pi，为虚数。
即使是-ln(1-x)=∑(x^n)/n，成立的条件也要求x在(-1,1)的范围内（收敛半径）。