Question

定积分换元法使用的换元函数是不是要保证在区间上是单调的

定积分换元法使用的换元函数是不是要保证在区间上是单调的，我看同济大学教材中利用第二种换元法求不定积分的时候，是要求换元函数是单调的。但是在利用换元法求定积分的时候好像没可以强调这一点，不知道是不是也要保证换元函数是单调的。

Answer 1

要的。保证单调是为了保证从x到u的映射是一一对应的，也就可以保证换元后和之前的式子等价。

Answer 2

定积分的值与积分变量记法无关，所以不需要换成反函数，不要求反函数存在，所以不需要单调。

Answer 3

不定积分要求单调，定积分不要求单调。

Answer 4

保证严格单调的目的是为了使其有反函数，（严格单调的函数必有反函数）也就是保证还原前后的等价性