Question

求单调性和极值？

Answer 1

x1=0,x2=-√2/2,x3=√2/2
当x<-√2/2或0<x<√2/2，f'(x)<0,f(x)为减函数
当x>√2/2或-√2/2<x<0,f'(x)>0，f(x)为增函数
所以 f（x）在（-无穷，-√2/2】和【0，√2/2】单调递减
在（-√2/2，0）和（√2/2,+无穷）单调递增
当x=-√2/2时，取得极小值，f(x)=-1/4
当x=0时，取得极大值，f（x）=0
当x=√2/2时，取得极小值，f（x）=-1/4

Answer 2

求y=x^4-x²的单调性和极值

解：定义域：(-∞，+∞)；偶函数；

令 y'=4x³-2x=2x(2x²-1)=2x[(√2)x+1][(√2)x-1]=0

故得驻点：x₁=-1/√2；x₂=0；x₃=1/√2;

当x∈(-∞，-1/2√]时y'≦0；故在区间(-∞，-1/√2]内单调减；

当x∈[-1/√2，0]时y'≧0；故在区间[-1/√2，0]内单调增；

当x∈[0，1/√2]时y'≦0；故在区间[0，1/√2]内单调减；

当x∈[1/√2，+∞)时y'0≧0；故在区间[1/√2，+∞)内单调增；

x₁=-1/√2是极小点，x₂=0是极大点；x₃=1/√2是极小点；

极小值=f(-1/√2)=-1/4；极大值=f(0)=0；极小值=f(1/2√)=-1/4；

其图像如下：