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原式=lim(n->∞) [(n+1)(n+2)...(2n)/(n^n)]^(1/n)
=lim(n->∞) [(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]^(1/n)
=lim(n->∞) e^{ln[(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]^(1/n)}
=e^lim(n->∞) (1/n)*ln[(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]
=e^lim(n->∞) (1/n)*[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n)]
=e^∫(0,1) ln(1+x)dx
=e^[(1+x)ln(1+x)-x]|(0,1)
=e^(2ln2-1)
=e^(ln4-1)
=4/e
=lim(n->∞) [(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]^(1/n)
=lim(n->∞) e^{ln[(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]^(1/n)}
=e^lim(n->∞) (1/n)*ln[(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)]
=e^lim(n->∞) (1/n)*[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n)]
=e^∫(0,1) ln(1+x)dx
=e^[(1+x)ln(1+x)-x]|(0,1)
=e^(2ln2-1)
=e^(ln4-1)
=4/e
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多谦积分，可以去努力加油！
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