Question

用积分推证半径为R的球的表面积和体积公式

Answer 1

球的体积：4/3πR^3
推导过程：最好拿纸笔画好图
第一步：先想象一个半球（高R，底面半径R，这个应该能理解吧），在距它底面L处，做一个横截面。因为是半圆，所以底面圆心到球面任意点的距离相等，所以截面半径r的平方：r^2=
R^2
-
L^2（初中学的勾股定理）
所以截面面积S=π(R^2
-
L^2)
=πR^2
-
πL^2
第二步：再想象一个圆柱（高R，底面半径R），从中间拿掉一个圆锥，在同样高L处，做横截面。截面为圆环，S圆环面积=大圆
-
小圆
因为此圆柱高R，半径R所以从垂直方向截面上看，截去的圆锥为等腰直角三角形，所以L等于圆环中小圆的半径，所以S圆环面积=大圆
-
小圆
=πR^2
-
πL^2
所以
在同样高处
圆柱的圆环=半球的横截圆
所以可以得
圆柱截取圆锥后的剩余体积=半球体积
得半球体积=2/3圆柱
所以球的体积=4/3圆柱
=4/3πR^3

Answer 2

圆柱的底面直径、圆柱的高、球的直径都为2r则圆柱的体积是:底面积*高=丌r平方*2r=2丌r^3则:
s1=底面周长/高=2丌rx2r=4丌r^2
s2=4丌r^2
所以s1=s2