Question

如右图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过点E做EF⊥BC，垂足为F，且BF:FC=5:1，AB=8，AE=2

如右图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过点E做EF⊥BC，垂足为F，且BF:FC=5:1，AB=8，AE=2，求EC的长。

Answer 1

连接BE，
BC是直径===>角BEC=角BEA=90,
勾股定理：BE^2=AB^2-AE^2
根据射影定理：BE^2=BF*BC,
所以：AB^2-AE^2=BF*BC，
BF:FC=5:1==>BF=5BC/6,代入上式，
AB^2-AE^2=5BC^2/6，AB=8,AE=2,
所以：BC=6√2,
FC=BC/6=√2，
EC^2=FC*BC=√2*6√2=12
EC=2√3

Answer 2

连结BE，在直角三角形ABE中，有BE=根号60。又在直角三角形BEF和CEF中，有BE^2=BC×BF，CE^2=CF×CB，两式相除，有BE^2：CE^2=BF：CF=5：1，所以有60：CE^2=5：1，从而CE=2√3。