Question

如果已知角平分线,中线,怎么证明这个三角形是等腰三角形

Answer 1

一个内角的角平分线与对边的中垂线交于一点，作图时保证这一点在三角形内。过这一点做两邻边的垂线，在连接这一点与对边两端点。

可以证明左右三对三角形全等，证明任意三角形为等腰三角形。但这是伪命题，因为那个交点不可能在三角形内。

三角形的面积公式：

(其中，a、b为三角形两边，C为边c所对角)

因为该公式涉及到建立在直角三角形基础上的正弦值，而“正弦”摆脱圆的控制而在直角三角形中讨论，是16世纪的事。哥白尼的得意门生——奥地利数学家雷提库斯（Rhaeticus，1514—1574）在《三角学准则》一书中，将正弦函数的定义直接建立在“直角三角形”上，即sinα=对边/斜边。因此，可断定出现在16世纪以后。

Answer 2

设三角形为abc，ad为bc边上的中线，且ad是角bac的角平分线
延长中线ad至e，使得de＝ad，连接eb。
因为ed＝ad，角bde＝角cda（对顶角），bd=cd(ad为bc边上的中线)
所以三角形bde全等于三角形cda
所以角bed＝角cad，eb＝ac（全等三角形的对应边、对应角相等）
而ad是角bac的角平分线
所以角bad＝角cad
所以角bad＝角bed
所以be＝ab
所以ab＝ac
故三角形abc是等腰三角形
所以一个三角形角的平分线和中线重合，则这个三角形是等腰三角形。

Answer 3

还可以利用角平分线到角的两边距离相等，向两边做垂线，HL证明两直角三角形全等