Question

为什么一阶线性微分方程通解公式中e^∫p(x)dx积分结果可以不带常数C？

Answer 1

解：先算对应的齐次方程的解。
y'+P(x)y=0
y'/y=-P(x)
lny=-∫P(x)dx+C
y=ke^(-∫P(x)dx)
下面用常数变易法求解原方程的解。设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫P(x)dx)
y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
代入得：
Q(x)
=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C
y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

Answer 2

关于那个一阶线性微分方程的通解公式，在使用的时候为什么e^(-p(x)dx积分公式应该是
∫e^(-p(x))dx
，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个