Question

如图，A是半径为1的圆O外一点，OA=2，AB是圆O的切线，B为切点，弦AB平行OA，连接AC，求阴影部分面积。

如图，A是半径为1的圆O外一点，OA=2，AB是圆O的切线，B为切点，弦AB平行OA，连接AC，求阴影部分面积。

Answer 1

连接OB，OC，OB与AC交于点E
因为 AB是圆O的切线
所以 OB垂直AB
因为 OB=1，OA=2
所以 角AOB=60度
因为 BC//OA
所以 角OBC=角AOB=60度
因为 OB=OC
所以 三角形BOC是等边三角形
因为 OB=1
所以 BC=1
过O作OD垂直BC于D
因为 三角形BOC是等边三角形，OB=1
所以 OD=√3/2
因为 BC//OA
所以 OD就是三角形ABC的高
因为 BC=1
所以 S三角形ABC=1/2BC*OD=√3/4

因为 角BOC=60度，OB=1
所以 S扇BC=60π/360=π/6

因为 BC//OA，BC=1，OA=2
所以 BE/EO=BC/OA=1/2
所以 S三角形BCE=1/3S三角形ABC
因为 S角形ABC=√3/4
所以 S三角形BCE=√3/12

因为 三角形ABC和S扇BC在三角形BCE上重合
所以 S阴影=S三角形ABC+S扇BC-S三角形BCE

所以 S阴影=√3/4+π/6-√3/12=√3/6+π/6

Answer 2

连接OB，OC，OB与AC交于点E
因为 AB是圆O的切线
所以 OB垂直AB
因为 OB=1，OA=2
所以 角AOB=60度
因为 BC//OA
所以 角OBC=角AOB=60度
因为同底等高，
所以S△BOC=S△BAC
所以S阴影=S扇BOC=π*60*1平方/360=π/6