Question

证明等差数列的所有的方法

Answer 1

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)
　前n项和公式为：sn=na1+n(n-1)d/2或sn=n(a1+an)/2 (2)
　以上n均属于正整数。
　从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
　在等差数列中，等差中项：一般设为ar，am+an=2ar,所以ar为am，an的等差中项，且为数列的平均数。
　且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d
　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，sm-1=(2n-1)an，s2n+1=(2n+1)an+1，sk，s2k-sk，s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…或等差数列，等等。
　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　首项=2和÷项数-末项
　末项=2和÷项数-首项
　末项=首项+（项数-1）×公差
　等差数列的应用：
　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。