Question

微分中值定理的几个题目

1.不用求出函数f(X)=X(X-1)(X-2)(X-3)的导数,判别方程f'(X)=0的跟的个数. 2.设f(X)在实数范围内可导,且有f'(X)=C(常数),证明f(X)一定是线性函数. 3.已知函数f(X)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=1,f(1)=0,求证,在(0,1)内至少存在一点C,使得:f'(C)=-f(C)/C

Answer 1

我来回答：
显然f(x)为基本初等函数,即多项式函数,它在任意区间[a，b]
属于(+∞，-∞)都满足[a,b]连续,（a,b）内可导的条件,又
f(0)=
f(1)=
f(2)=
f(3)=0，所以f(x)在[0,1][,1,2][2,3]上满足罗尔定理的
全部条件，所以
ξ1∈(0,1)，ξ2∈(1,2)，ξ3∈(2,3)
，有
f'(ξ1)=
f'(ξ2)
=f'(ξ3)=0,即至少有三个实数根
ξ1,ξ2,ξ3
.又因为f'(x)=0是三次方程，它
至多也只有三个不同实数根哪，
而ξ1＜ξ2＜ξ3
不等。综上，f'(x)=0有三个不同实数根且位于(0,1)(1,2)(2,3)内;
第二题比较简单;因为f(X)在实数范围内可导，则在实数范围内有，
f(X)=∫f'(X)dx+a，即f(X)为f'(X)的一个原函数，即f(X)=cx+a,当c=0时，f(X)=a（a为任意常数），f(X)表示平行于x轴的直线；当c≠0，显然f(X)为一直线。
所以f(X)一定是线性函数
第三题:（这是你思考的过程：通过观察，有函数和导数的乘积和加减=0的问题，想都罗尔定理，进而构造函数，如下思考：原式化为：f'(C)=-f(C)/C，cf'(C)+f(C)=0，用观察可以得出(cf(C))'=0,即我们要求的辅助函数F（x））
解：设函数F(x)=xf(x),又由题知，f(X)在[0,1]上连续,(0,1)内可导，则F(x)=xf(x),也满足在[0,1]上连续,(0,1)内可导，又F(0)=0f(0)=0,F(1)=1f(1)=0,F(x)=xf(x)在(0,1)满足罗尔定理,所以在(0,1)内至少存在一点C,使得
F'(c)=(cf(C))'=cf'(C)+f(C)=0,C∈(0,1)，即f'(C)=-f(C)/C
我还要补充的就是构造辅助函数是技巧、熟练程度，如果不熟悉就把式子移项两边积分也行，就是解微分方程了，虽麻烦，但可算万能公式啊！