Question

期末热身(2)17题，数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1.an+1=(n+2)Sn/n(n∈N*)

证明:(1)数列{Sn/n}的等比数列.(2)Sn+1=4an重点在第2小问，谢谢

Answer 1

证:
1.
a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+2)Sn/n
nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=2(n+1)Sn
等式两边同除以n(n+1)
S(n+1)/(n+1)=2(Sn/n)
[S(n+1)/(n+1)]/(Sn/n)=2，为定值。
S1/1=a1/1=1/1=1，数列{Sn/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。
2.
Sn/n=1×2^(n-1)=2^(n-1)
Sn=n×2^(n-1)
S(n+1)=(n+1)×2ⁿ
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n×2^(n-1)-(n-1)×2^(n-2)=(n+1)×2^(n-2)
n=1时，a1=(1+1)×2^(1-2)=2×(1/2)=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=(n+1)×2^(n-2)
4an=4×(n+1)×2^(n-2)=(n+1)×2ⁿ=S(n+1)，等式成立。