Question

七年级奥数题（10分钟之内追加10分！！！！要详细过程！！！！）

1，（1）已知a＋b＝1，a²＋b²＝2。求a的七次方与b的七次方的和。
（2）已知х－у＝1，х³－у³＝2。求х的4次方与у的4次方的和及х的5次方与у的5次方的差。
2，（1）证明：奇数的平方被8除余1。
（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和。
3，某校举行春季运动会时，由若干名学生组成一个8列的长方形队列。如果原队列增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列多少人？
各位高人，拜托了！！！！！！！！！！！！

Answer 1

1）a+b=1
（a+b）^2=1
a^2+2ab+b^2=1
又a^2+b^2=2带入得ab=-1/2
(a+b)(a2+b2)=a3+ab2+ba2+b3=a3+b3+ab(a+b)=a3+b3-1/2=2
a3+b3=3/2
(a3+b3)(a2+b2)=a5+a2b2(a+b)+b5=3
a5+b5=11/4
(a3+b3)2=9/4=a6+2a3b3+b6=a6+b6-1/4
a6+b6=5/2
(a6+b6)(a+b)=a7+a6b+b6a+b7=a7+b7+ab(a5+b5)=5/2
a7+b7=5/2+11/8=31/8
2)类似1）（x-y）3=1
得到xy=1/3,睡觉了，明天再说，呵呵
下面有人算了，到底错对，你自己检查吧（思路就是这样），呵呵，我一边打字一边口算，麻烦。

2.1 奇数设为2n+1，n=0，1，2.。。。。
则奇数的平方为（2n+1）^2=4n2+4n+1=4n（n+1）+1
这个减1=4n（n+1）
n（n+1）能被2整除，所以。。。题目成立。（看不懂自己想想，冲早闹呵呵睁悉）
2.2 若能，有第一问我们可以得到2006-10能被8整除，但1996不能散罩被8整除，矛盾，所以不能。

3 设有2n+1行，n=0，1，2.。。。。，则人数有16n+8。
增加120为16n+128，减少120为16n-112
就是n+16和n-14能开方。
显然n>=14，设n+16=a2，n-14=b2
a2-b2=30=（a+b）（a-b）
30/2=15
所以a<=15，由（a+b）（a-b)=30,得到a，b要同奇数或同偶数，但30不能被4整除，无解。
所以不成立，除非8列还有多的人，呵呵

Answer 2

1，（1）茄悉运已知a＋b＝1，a²＋b²＝2。求a的七次方与b的七次方的和。
解：a+b=1
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2=1
又:a^2+b^2=2
2ab=-1
ab=-1/2
(a+b)(a^2+b^2)=a^3+ab^2+ba^2+b^3=a^3+b^3+ab(a+b)=1*2=2
a^3+b^3=2-ab(a+b)=2-(-1/2)*1=2.5
(a^3+b^3)(a^2+b^2)=a^5+a^2b^2(a+b)+b^5=2.5*2=5
a^5+b^5=5-(ab)^2(a+b)=5-(-1/2)^2=19/4
(a^5+b^5)(a^2+b^2)=a^7+b^7+a^2b^5+b^2a^5=a^7+b^7+a^2b^2(a^3+b^3)=19/4*2=19/2
a^7+b^7=19/2-a^2b^2(a^3+b^3)=19/2-(-1/2)^2*2.5=19/2-2.5/4=35.5/4=71/8 .
（2）已知х－у＝1，х³－у³＝2。求х的4次方与颤梁у的4次方的和及х的5次方与у的5次方的差。
解：陆渣x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=2
x^2+xy+y^2=2
又 x^2-2xy+y^2=1
3xy=1
xy=1/3
x^2+y^2=5/3
(x^2+y^2)^2=x^4+y^4+2x^2y^2=25/9
x^4+y^4=25/9-2(xy)^2=25/9-2(1/3)^2=23/9
(x^3-y^3)(x^2+y^2)=2*5/3=10/3
x^5-y^5-x^2y^3+x^3y^2=x^5-y^5+x^2y^2(x-y)=10/3
x^5-y^5=10/3-x^2y^2(x-y)=10/3-(1/3)^2=10/3-1/9=29/9
即：x^5-y^5=29/9 .