Question

④高中数学：设b>0, 数列{an}满足a1=b ， an=nba n-1 / a n-1 +2n-2 (n≥2).

设b>0, 数列{an}满足a1=b ， an=nba n-1 / a n-1 +2n-2 (n≥2). 【注意： a的第n项=n乘以b乘以a的第n-1项（下标） 除以 a的第n-1项（下标）+2n-2的和】求出 ：数列{an}的通项公式

Answer 1

an=nba(n-1)
/[a(n-1)
+2n-2]
=n*b/[1+2(n-1)/a(n-1)]
所以n*b/an=1+2(n-1)/a(n-1)
设cn=n/an
则c(n-1)=(n-1)/a(n-1)
则b*cn=1+2c(n-1)
cn=(2/b)*c(n-1)+1/b
即cn-1/(b-2)=(2/b)[c(n-1)-1/(b-2)]
所以{cn-1/(b-2)}是公比为2/b的等比数列
首项=c1-1/(b-2)=1/a1-1/(b-2)=-2/b(b-2)
则cn-1/(b-2)=[-2/b(b-2)]*(2/b)^(n-1)=[-1/(b-2)]*(2/b)^n
所以cn=[1/(b-2)]*[1-(2/b)^n]
故an=n(b-2)/[1-(2/b)^n]