Question

已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意x，y都有f（x）+f（y）=1+...

已知定义在R上的函数f（x）满足条件： ①对任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y）； ②对所有非0实数x，f（x）=xf（1x）． （1）求证：对任意实数x，f（x）+f（-x）=2； （2）求函数f（x）解析式．

Answer 1

（1）证明：由于对任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y），
令x=y=0，得，2f（0）=1+f（0），即f（0）=1，
令y=-x，则f（x）+f（-x）=1+f（0）=2，
则对任意实数x，f（x）+f（-x）=2；
（2）解：由于f（0）=1，f（x）+f（-x）=2，
当x≠0时，f（x）=xf（1x），
则xf（1x）+（-x）f（-1x）=f（x）+f（-x）=2，
即有f（1x）-f（-1x）=2x，①
又f（1x）+f（-1x）=2，②
由①②解得，f（1x）=1+1x，
即有f（x）=x+1，对于x=0也成立．
故函数f（x）的解析式为：f（x）=x+1．