Question

f(x)连续，|f(x)|在x0处可导，则f(x)在x0出可导。如何证明？

Answer 1

函数x0处可导的条件是
lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x
存在
当f(x)≥0时
|f(x)|就是f(x)
此时在f(x)
x0处可导
当f(x)<0时
|f(x)|是-f(x)
现在只需证明
若-f(x)在x0可导
则f(x)在x0也可导
设g(x)
=-f(x)
由可导的条件知
lim
△x→0
g(x0+△x)-g(x0)/△x
存在
设lim
△x→0
g(x0+△x)-g(x0)/△x=c
即lim
△x→0
-f(x0+△x)+f(x0)/△x=-lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x=c
所以lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x=-c
即lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x存在
而f(x)可导的条件就是lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0)/△x
存在
所以f(x)连续，|f(x)|在x0处可导，则f(x)在x0处可导