Question

请高手解释 高等数学 常微分方程例题？

例 飞机在机场跑道着陆时，经常用位于飞机尾部的减速伞为飞机紧急减速。若飞机的质量为m，接触跑道是的速度是v0，减速伞的阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k），从飞机接触跑道时算起，求飞机滑行的速度与位移的关系？ 解 根据题设，利用力学牛顿第二定律得 m dv/dt=-kv 由x（t），v（t）的关系，上式可以写成 m dv/dt=m dv/dx dx/dt=mv dv/dx=-kv 即 dv/dx=-k/m 从而 dv=-k/m dx 两边积分得通解 v=-k/m x+C 由初始条件：t=0时，x=0，v=v0代入通解得C=v0，故得特解 v(t)=v0-k/m x(t) 请问：1、由F=ma，m dv/dt就相当于ma，那么-kv为什么可以代表F呢？-kv如何解释？ 2、dv/dt表示加速度a，dv/dx dx/dt是什么意思？二阶导数也不是这样啊，dv/dx又是什么意思呢？速度比上路程吗？

Answer 1

由“减速伞的阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k）”这句话可知-kv代表减速伞的阻力
飞机滑行时加速度不是保持不变的，它在某一刻的加速度是由飞机在这一刻的阻力决定的，阻力又是由这一刻的速度决定的，所以有第一式
“m
dv/dt=-kv”
“m
dv/dt=m
dv/dx
dx/dt”这个变化是数学上解题的技巧，是借助于求导的链式法则进行变形，相当于引入了一个中间变量x，即v是x的函数，x又是t的函数，则v就是t的函数，求导时就要利用链式法则，此时dv/dx就没有明确的物理意义