Question

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.

Answer 1

连结A1B，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面A1B1BA是正方形，对角线A1B⊥AB1，
又，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1A1⊥面A1B1BA，AB1在面A1B1BA上，∴D1A1⊥AB1
∵AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线
∴AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD上，∴AB1⊥BD1

同理，D1D⊥面ABCD，AC在面ABCD上，D1D⊥AC，在正方形ABCD中对角线AC⊥BD
∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线
∴AC⊥面BDD1，又BD1在面BDD1上，∴AC⊥BD1

∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC，AB1和AC是面ACB1内的相交直线
∴BD1⊥面ACB1

Answer 2

∵DD1⊥面ABCD
AC在面ABCD上
∴DD1⊥AC
∵BD⊥AC
BD,DD1都在面BDD1上
∴面BDD1⊥AC
∴AC⊥BD1
同理可证
BD1⊥AB1
∴BD1垂直于平面AB1C