Question

已知向量m=（2sinθ，sinθ+cosθ），n=（cosθ，-2-m），函数...

已知向量m=（2sinθ，sinθ+cosθ），n=（cosθ，-2-m），函数f（θ）=m•n的最小值为g（m）（m∈R） （1）当m=1时，求g（m）的值； （2）求g（m）； （3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2都满足h（x1+x2）=h（x1）+h（x2）问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（θ））-h（4sinθ+cosθ）+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（θ）=sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ，t∈[-2，2]，
∴sin2θ=t2-1，
当m=1时，g（m）=（t2-3t-1）min=1-33．
（2）f（θ）=F（t）=t2-（m+2）t-1，t∈[-2，2]，
∴g（m）=(m+2)2+1，m≤-22-2-m2+4m+84 ，-22-2＜m＜22-21-(m+2)2 ，m≥22-2，
（3）易证明函数h（x）为R上的奇函数，
使不等式h（f（θ））-h（4sinθ+cosθ）+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，
∴只需使不等式h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-4sinθ+cosθ]+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，
∴h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-4sinθ+cosθ]＞-h（3+2m）=h（-3-2m），
∵函数h（x）为定义在R上的增函数，
∴sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-4sinθ+cosθ＞-3-2m，
令t=sinθ+cosθ，
∴sin2θ=t2-1，
∵θ∈[0，π2]，
∴t∈[1，2]，
∴原命题等价于t2-1-（m+2）t-4t+3+2m＞0对t∈[1，2]恒成立，
∴（2-t）m＞2t-t2+4t-2，
∴m＞t(2-t)+2t(2-t)2-t=t+2t，
由对勾函数的图象和性质，得：
g（t）在[1，2]为减函数，
∴g（t）的最大值为3，
∴m＞3时，原命题成立．