Question

关于线性代数 欧氏空间 向量加法！向量加法为什么满足三角形法则啊？

向量加法满足三角形法则这是为什么？（我的猜想：三角形法则是欧式空间下的特例，在更广泛的向量空间中加法法则一定还有更一般的描述。）
本人虽然是学理的，但学校的高等数学教材中都是讲分析的。这个问题我在上高中时就在想、到了大学我还是没找到答案，纠结啊！！！
希望各位前辈、大哥、大姐帮帮小弟吧！答案尽量详细点、完整点。毕竟线性代数我只接触过一点点啊。
小弟在这叩首了！这问题折腾我几年了 T_T ，高中书上对这个法则是既没有证明也没有解释！
我看了楼上的回答，感觉东一下西一下的，没明白写的什么意思，不好意思啊！
我是不是应该换种问法：向量加法所满足的三角形法则是公理还是定理？如果是定理，请给出证明过程？（尽量详细点）
谢谢各位了！麻烦各位了！

Answer 1

这个问题并非是线性代数所研究的，而是泛函分析所研究的。当然线性代数也会少量涉及，但是看不到本质。
我不知道你所学的向量空间是什么样的。如果是那种n维有序数组的话，那么三角不等式可以直接由cauchy不等式（百度下吧）得到。如果是那种抽象向量空间的话，就是说公理化定义线性空间（百度了解下），那么实际上三角不等式来源于线性赋范空间（百度下吧），线性赋范空间也是公理化定义的，三角不等式实际上是线性赋范空间公理化定义之一，也就是公理。上面你所说到的欧氏空间，也叫做内积空间，也是公理化定义的（如果不是n维有序数组的话）。它建立在线性空间和内积的公理化定义上，同时cauchy不等式也成立（注意这里的cauchy不等式是上面的cauchy不等式的一般情况），然后可以由cauchy不等式导出三角不等式。
总之，从抽象角度来说，三角不等式是公理化的产物。实际上，公理化就是为了使得抽象空间和我们真实空间在一定意义上统一。
可能上面所讲的比较抽象，但是事实就是这样。有兴趣可以看看泛函分析。里面有很详细的介绍。

Answer 2

我个人思考过这个问题。我的理解是从空间结构上来说，两个向量首尾相接可以向空间中任意坐标系做投影。其中，以起点到终点的直线为x轴垂直x轴且与两向量共面的直线为y轴时，投影结果最为简单。从而得到了x轴上的向量为两向量之和。在平面几何中刚好表现为三角形。
我们可以猜想，当我们寻找一种复杂的投影方式，即建立一个复杂坐标系时，沿各轴的分向量就复杂的多。如果在非欧氏空间内假设超过三维坐标，则分向量更为复杂。但无论怎样投影，只要各轴满足一定的关系，如垂直，夹角为θ等，经过换算也能得出唯一结论。
比较特殊的是当处在非线性空间，例如直线会扭曲的空间内，向量本身就不存在。我们定义向量的前提是直线。因此，我个人认为只要存在向量其结果是唯一的。
有点乱，希望有点帮助，O(∩_∩)O~

Answer 3

其实我明白你的意思，其实你就是问数学系的学生这个问题也有一些回答不上来的，能给你说明白的也不多。向你推荐一篇文章“向量理论历史研究”，西北大学一博士的学位论文，李文林指导的。虽然是博士论文，但只要有一定的数学基础的都能看懂。

Answer 4

我个人思考过这个问题。我的理解是从空间结构上来说，两个向量首尾相接可以向空间中任意坐标系做投影。其中，以起点到终点的直线为x轴垂直x轴且与两向量共面的直线为y轴时，投影结果最为简单。从而得到了x轴上的向量为两向量之和。在平面几何中刚好表现为三角形。
我们可以猜想，当我们寻找一种复杂的投影方式，即建立一个复杂坐标系时，沿各轴的分向量就复杂的多。如果在非欧氏空间内假设超过三维坐标，则分向量更为复杂。但无论怎样投影，只要各轴满足一定的关系，如垂直，夹角为θ等，经过换算也能得出唯一结论。