如图在直角三角形abc中角ac b=90度角a=40度三角形abc的外角角cbd的平分线be交
BEC=45°。因为∠A=40°，所以∠B=∠C=70°。则∠A外角的一半=70°，∠B的外角的一半=55°。所以∠AEB=55°AE=AB=AC，∠AEC=∠ACE=35°。所以∠BEC=55°-35°=20°。
延长CE和BA交于F。因为BD平分∠ABC，所以∠CBE=∠ABE=∠FBE。因为CE⊥BD即CE⊥BE，所以∠BEC=∠BEF=90°。因为BE=BE，所以△BEC≌△BEF(ASA)；CE=EF=1/2CF。
因为∠BAC=90°，那么∠FAC=∠CED=90°；所以∠CDE=90°-∠ACF；∠F=90°-∠ACF；∠F=∠CDE。
因为∠BDA=∠CDE(对顶角相等）；所以∠BDA=∠F。因为∠FAC=∠DAB=90°；∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线；所以∠ABP= 1 2 ∠ABC， ∠CAP= 1 2 （90°+∠ABC）=45°+ 1 2 ∠ABC。
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP =180°-（45°+ 1 2 ∠ABC+90°-∠ABC）- 1 2 ∠ABC=180°-45°- 1 2 ∠ABC-90°+∠ABC- 1 2 ∠ABC =45°。
直角三角形的判定方法：
1、有一个角为90°的三角形是直角三角形。
2、若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
3、若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
4、两个锐角互余的三角形是直角三角形。
5、证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
6、若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。
7、在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
