Question

当0≤x≤1时，不等式sin(πx/2)≥kx成立，则实数k的取值范围是

Answer 1

当x=0时，0≥0恒成立，此时k∈R；
当0<x<1时，不等式sin(πx/2)≥kx转化为
k≤sin(πx/2)/x
令f(x)=sin(πx/2)/x
则f'(x)=[πx/2×cos(πx/2)-sin(πx/2)]/(x^2)
∵0<x<1
∴0<πx/2<π/2
=>cos(πx/2)>0
∴
f'(x)=cos(πx/2)[πx/2-tan(πx/2)]/(x^2)
又∵当0<πx/2<π/2时，tan(πx/2)>πx/2,x^2>0
∴f'(x)<0,即f(x)在(0,1)上单调递减；
∴f(x)>f(1)=1
要使k≤sin(πx/2)/x恒成立，则k≤f(1)=1
当x=1时，sin(πx/2)≥kx
=>k≤1
综上所述，要使当0≤x≤1时，不等式sin(πx/2)≥kx成立，
实数k的取值范围是(-∞,1]。
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