Question

关于二重积分计算的问题，想知道为什么被积函数是y²，区域关于y对称，也可以乘2呢？

乘2的话 区域关于y轴对称，不是看x的奇偶性吗

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Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

追问

结论我是知道的，我想问下这时y²是关于x，y的函数，那x不存在为什么还能看x的奇偶性？

追答

f（x，y）=y^2
=f（-x，y）

直接带公式，跟x没有任何关系

Answer 2

二重积分直接看区域对称容易理解一些。
本题的积分区域与 y 轴对称。所以 xy 的积分结果为零，因为每一个微元 xydA 有一个对应的 -xydA微元。同样，对 y^2 的积分，因为 y 轴两边的区域对称的，所以只需要对右边的那部分积分，结果乘2就得到对整个区域的积分结果。

Answer 3

积分域 D 关于 y 轴对称， 则 x 的奇函数 3xy 积分为 0；
x 的偶函数 y^2 的积分， 是积分域第一象限部分积分的 2 倍。
追答：
由 f(x, y) = y^2 , 得 f(-x, y) = y^2；
或理解为 f(x, y) = (x^0)(y^2) ， 则是 x 的偶函数。
此题不用 2 倍结果一样的：
原式 = ∫∫<D>y^2dy
= ∫<0, 1>y^2dy∫<-√y, -√y/2>dx + ∫<0, 1>y^2dy∫<√y/2, √y>dx
= (1/2)∫<0, 1>y^(5/2)dy + (1/2)∫<0, 1>y^(5/2)dy
= ∫<0, 1>y^(5/2)dy = (2/7)[y^(7/2)]<0, 1> = 2/7

追问

y^2为什么是x的偶函数呢？

追答

由 f(x, y) = y^2 , 得 f(-x, y) = y^2；
或理解为 f(x, y) = (x^0)(y^2) ， 则是 x 的偶函数。