Question

请教一道高数递推式的问题？

如图，这个递推式是怎么得到图中所给的答案的。

Answer 1

见下图：

Answer 2

就是一个已知递推公式 a【n+1】=n^2*a【n-1】 及 a1=1、a2=0 的数值数列 {an}，求通项公式的问题，与导数毫无关系，以下符号【】表示下标：
n=2m+1, m 为正整数， m>=1, n 为奇数，n>=3
a【2m+1】=(2m)^2*a【2m-1】
=[(2m)(2m-2)]^2*a【2m-3】=…………
=[(2m)(2m-2)*……*2]^2*a【1】
=[(2m)!!]^2 = 2^(2m)*[m!]^2
=2^(2m+1-1)*{[(2m+1-1)/2]!}^2
即 a【n】= 2^(n-1)*{[(n-1)/2]!}^2, n=1也符合，所以 n 为所有正奇数

n=2m+2，m 为正整数， m>=2, n 为奇数，n>=4
a【2m+2】=(2m+1)^2*a【2m】
=[(2m+1)(2m-1)]^2*a【2m-2】=…………
=[(2m+1)(2m-1)*……*3]^2*a【2】=0
即 a【n】= 0, n=2也符合，所以 n 为所有正偶数
所以
当 n为正偶数 f《n》(0)=0
当 n为正奇数 f《n》(0)= 2^(n-1)*{[(n-1)/2]!}^2

Answer 3

f<n+1>(0)=n^2*f<n-1>(0),
以n-1代n,得f<n>(0)=(n-1)^2*f<n-2>(0),
以n-2代n,得f<n-2>(0)=(n-3)^2*f<n-4>(0)
以此类推……
n为偶数时，f<4>(0)=3^2*f‘’(0),
上述各式相乘，并约去相同因数，得f<n>(0)=3^2*5^2……(n-3)^2*（n-1）^2*f''(0)=0,
n为奇数时，把底数3,5……分别改为2,4,……，把f''(0)改为f'(0),得
f<n>(0)=2^2*4^2*……*（n-1)^2*f'(0)
=[2*4*6*……(n-1)]^2.
您的答案不对。