Question

导函数的左右极限和左右导数有什么区别?

Answer 1

总结来说，左右导数，是函数左右段的实际导数值，若左右导数相等，则函数在该点可导，该导数也是导函数在该点的函数值。

1. 如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)。

2. 如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。

3. 如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。

4. 函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

补充内容：

1. 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

2. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。