Question

卡方分布怎么理解?

Answer 1

在理论上n个独立同分布的随机变量，都服从正态分布，那么平方和服从的分布就是自由度为n的卡方分布。

1. 若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其卡方分布分布规律称为χ2(n)分布（chisquare distribution）。

2. 其中参数 n 称为自由度，自由度不同就是另一个χ2分布，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样。

补充：

1. χ2分布在一象限内，呈正偏态，随着参数 n 的增大，χ2分布趋近于正态分布。

2. χ2分布的均值为自由度 n，记为 Eχ2=n，这里符号“E”表示对随机变量求均值；χ2分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 Dχ2=2n，这里符号“D”表示对随机变量求方差。

3. 从χ2分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

4. χ2分布具有可加性：若有K个服从χ2分布且相互独立的随机变量，则它们之和仍是χ2分布，新的χ2分布的自由度为原来K个χ2分布自由度之和。表示为：

5. χ2分布是连续分布，但有些离散分布也服从χ2分布，尤其在次数统计上非常广泛。