Question

高数怎么写呢微分方程的通解和特解？

微分方程的通解和特解
题目如下，求详细过程

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Answer 1

解:∵微分方程为dx/(x²-2xy)=dy/(xy-y²)， 化为dy/dx=(xy-y²)/(x²-2xy) ∴设y=ux，方程化为 dux=(ux²-u²x²)/(x²-2ux²)， xdu/dx+u=(u-u²)/(1-2u)， xdu/dx=u²/(1-2u)， (1-2u)du/u²=dx/x， (1/u²-2/u)du=dx/x， -1/u-2ln|u|=ln|x|+ln|c|， lncu²x+1/激运孝u=0(c为悄皮任意非零常数) ∴方程的通解为yln(cy²/x)+x=0解:微分方程为x(lnx-lny)dy-ydx=0，化为 x(lny-lnx)dy+ydx=0，xln(y/x)dy=-ydx ln(y/x)dy/dx=-y/x 设y=ux，方程化为lnudux/x=-u， lnu(xu'+u)=-u，xu'=-u/lnu-u， lnu/(u+ulnu)du=-dx/x， lnu/(1+lnu)dlnu=-dx/x， [1-1/(1+lnu)]dlnu=-dx/x， lnu-ln(1+lnu)+ln|c|=-ln|x| (c为任意非零常数)，ln[cux/(1+lnu)]=0 cux/(1+lnu)=1，方程的通解 cy=1+ln(y/x)解:微分方程为(x²-1)dy+(2xy-cosx)dx=0， 方程化为(x²-1)dy/dx+2xy=cosx， [(x²-1)y]'=cosx，(x²-1)y=sinx+c (c为任意常数)，方程的通解为 y=(sinx+c)/(x²-1) y|(x=0)=1，得:c=-1，方程的特解为 y=(sinx-1)/(x²-1)解:微分方程为y"=1+y'²，设y'=u，方程 化为u'=1+u²，du/(1+u²)=dx， arctanu=x+c，u=tan(x+c)， y'=tan(x+c)，y'=sin(x+c)/cos(x+c)， 方程的通解为y=-ln|cos(x+c)|+a (a、c为任意常数)
解:微分方程为y"-4y'+4y=0，设方程的特 征值为p，特征方程为p²-4p+4=0，
p=2(二重根)，微分方程的特征根为
(ax+v)e^2x，方程的通解为
y=(ax+b)e^2x(a、b为任意常数)
解:微分方程为y"-2y'-3y=2x+1，特征方程
为p²-2p-3=0，特征值为3或-1，特征根
为e^3x或e^(-x)；设方程的特解为
ax+b，有0-2a-3(ax+b)=2x+1，
得:a=-2/3，b=1/9
方程的通解为y=Ae^3x+Be^(-x)-2x/3+
1/9(A、B为任意常数)
解:微分方程为y"-6y'+13y=14，特征方程
为p²-6p+13=0，p=3±2i，微分方程的
特征根为(asin2x+bcos2x)e^3x，微分 方程的特解为14/13，微分方程的通解
为y=(asin2x+bcos2x)e^3x+14/13
(a、b为任意常数)
解:微分方程y"+y'-2y=2e^x，特明稿征方程为
p²+p-2=0，p=1或-2，特征根为e^x或
e^(-2x)；微分方程右式为2e^x，则设
微分方程特解为cxe^x，有
(cx+2c)e^x+(cx+c)e^x-2cxe^x=2e^x，
3c=2，c=2/3，微分方程的通解为
y=(2x/3+a)e^x+be^(-2x)
(a、b为任意常数)
解:微分方程为y"-y=4sinx，特征方程为
p²-1=0，p=±1，特征根为e^x或e^(-x)
设方程的特解为csinx，有
-csinx-csinx=4sinx，c=-2，方程的通 解为y=ae^x+be^(-x)-2sinx
(a、b为任意常数)
解:微分方程为y"+2y'+y=5e^(-x)，特征方 程为p²+2p+1=0，p=-1(二重根)，特征
根为(ax+b)e^(-x)；方程右式为5e^(-x)
则设方程的特解为cx²e^(-x)，有
(2c-4cx+cx²)e^(-x)+2(2cx-cx²)e^(-x)+
cx²e^(-x)=5e^(-x)，2c=5，c=2.5，
方程的特解为y=2.5x²e^(-x)，方程的
通解为y=(2.5x²+ax+b)e^(-x)

追问

辛苦了，第二张图还得麻烦你❤️❤️❤️