Question

高阶微分的几何意义

Answer 1

微分本质上是一个线性映射。高阶微分映射，本质上讲是一个多重线性映射。在一维的情形下看是看不清楚的，到了多元函数情形下，就可以看的更清楚。

要理解高阶微分，首先要深刻理解无穷小。几百年前牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候，对无穷小的概念解释得不是很清楚。牛顿一会儿说无穷小是0，一会儿又说无穷小不是0。其实牛顿的本意是说，无穷小是一种无限靠近0而又不是0的数。但是这个说法实在是不可捉摸。无限靠近0，不就是0吗？怎么又不是0了呢？所以在当时造成了人们的困惑，成为人们攻击微积分的把柄。随着数学的发展，无穷小得到了严格的定义，也就是现在人们所熟知的ε-δ定义。定义 设函数f(x)在 的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（或正数X），使得对于适合不等式0<|x- |<δ（或|x|>X）的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|<ε，那么称函数f(x)当x （或x∞）时为无穷小。ε-δ定义的意思是：“如果x向 奔跑时y = f(x)向0奔跑，那么y就是一个无穷小。”我们仔细想一想，就会发现这个定义其实本质上是在说：无穷小是一个向0奔跑的变量。例如，我们令f(x)=x，令 =0，那么显然，f(x)满足上述ε-δ定义，因此当x 时，f(x)是一个无穷小，或者说当x0时，x是一个无穷小。因此，从ε-δ定义可以推出：任何一个向0奔跑的变量都是一个无穷小。我们考察的就是变量向0奔跑的过程。那么，考察变量向0奔跑的过程有什么意义呢？其实，通过研究这种向0奔跑的过程，我们可以得到不同无穷小之间的大小关系。变量之间可以具有函数关系。因为无穷小是一种变量，所以无穷小之间也可以具有函数关系。假设变量x、y是两个无穷小，即x0，y0，并假设x和y之间具有函数关系，那么在x向0奔跑的过程中，它所取的每个数值都对应着y的一个数值。例如，当x=0.1时，y可能等于0.07，当x=0.01时，y可能等于0.005，等等。x无限地向0逼近，y也随之无限地向0逼近。虽然都向0奔跑，但是x和y的奔跑速度不一定相同。x和y的函数关系决定了它们各自奔跑速度之间的关系，有以下几种情况：①如果x/y0，那么x是y的“高阶无穷小”，y是x的“低阶无穷小”。此时，x比y跑得快。在它们向0奔跑的过程中，x在y面前变得越来越微不足道。打个比方，当y相当于一个篮球大小时，x相当于一个乒乓球大小，当y缩小到乒乓球那么大时，x已经缩小到一个细菌那么大了。也就是说，它们越接近0，相对大小就越悬殊，并且这种悬殊差距会无限拉大。②如果y/x0，那么x是y的“低阶无穷小”，y是x的“高阶无穷小”。此时，y比x跑得快。在它们向0奔跑的过程中，y在x面前变得越来越微不足道。③如果x/yA，其中A为非零常数，那么x和y是“同阶无穷小”。此时，x和y的奔跑速度差不多。在它们向0奔跑的过程中，它们越来越趋向于一个固定的倍数关系。④如果x/y1，那么x和y是“等价无穷小”。这是同阶无穷小的特例。此时，可以认为x和y的奔跑速度是相同的。在它们向0奔跑的过程中，它们的大小比例越来越接近1:1。于是可以总结出三条：（1）无穷小是一种向0奔跑的变量；（2）不同无穷小之间可以具有函数关系；（3）具有函数关系的两个无穷小，在向0奔跑的过程中，它们的大小比例会趋向于一个极限，而这个极限就代表了这两个无穷小之间的大小关系。换言之，这两个无穷小在向0奔跑的过程中的大小比例并不重要，我们真正关心的是它们的大小比例所趋向的极限。由此可见，虽然我们考察的是变量向0奔跑的过程，但是我们真正关心的是两个无穷小变量在极限处的比例关系。考察奔跑过程，只是一种辅助手段，因为如果直接在极限处计算比例关系的话，那么就是0比0，没法计算。