Question

圆的“内角和”

Answer 1

一、问题的提出

研究多边形的内角和时，书上有一道习题，拍图如下：

我引导孩子们理解省略号的意义：省略号代表边数可以继续增加，直到无穷。这时，一个孩子提出：当边数增加到无穷大的时候，就变成了一个圆形，圆的内角和是多少度？

二、问题的研讨

孩子们思维的灵活度出乎我的意料之外，课下，我上网搜了很多资料，但网上的答案不尽相同。可孩子们探究的热情却如火如荼，这两天有几个孩子追着我问，到底圆的内角和是多少度？

虽然我没有明确的答案，但我还是决定带领孩子们来一次数学冲浪。

我先让他们自己讨论，说出自己的想法，并尝试说出理由。

交流时，孩子们争先恐后地发言。

一个孩子说，我们在认识角的度数时，是把一个圆平分360份，每一份的大小是1度，因此圆的内角和是360度；另一个孩子说，可以把圆平均分成四份，每一份中间的角度是90度，也能证明圆的内角和是360；

这两个孩子显然是把圆心角当成了圆的内角，我没有直接评判，而是把问题抛给其他同学：他们认为，圆的内角指的是哪儿？你认同他的想法吗？

这时，一个孩子提出了很有代表性的看法：其他多边形的内角都在外围，因此圆的内角应该也在外围；受他的启发，其他孩子也开始从多边形内角和来进行类推，出现了以下两种答案：

1.一部分孩子认为，既然圆是由线段增加到无穷多时产生的图形，可以把圆的边数看做无穷，根据求多边形内角和的方法：180º×（n－2），得出圆的内角和也是无穷大；

2.另一部分孩子认为：多边形的内角是由线段围起来后形成的角，而圆是一条曲线围成的图形，因此，它没有内角，也没有内角和。

三、尾声......

关于这个问题，网上给出的参考不尽相同：1.圆的边数是无穷多，因此内角和是无穷大；2.不确定，不存在圆的内角的概念；3.圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角（这里的圆内角和孩子们探讨的圆的内角是不是同一个概念？）

经过多方请教专家，认为： 圆是曲线图形，因此不存在内角和的概念，但孩子们依然认为自己的探究具有重大的意义：1.这种探究精神是学习数学不可或缺的重要品质；2.类推这种重要的数学思想已内化为孩子们的数学学习能力。

“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。”达哥拉斯的这句话也许是对孩子们的探究最好的注解......