Question

已知三维空间两点p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2)成一条直线L,p3在L上且距离p2的距离为d,求p3的点坐标

Answer 1

立体解析几何中，已知直线上两点，求直线方程很方便；已知球心和半径，求球面方程也很方便。由此我们可以获得直线L的方程如下①式，和以P2为球心、d为半径的球面方程如下②式：

直线与球面的交点即为P3点，因为直线经过球心（不与球面相切或相离），所以肯定存在两个这样的P3点。我们联立上述方程求解即可。

将①式变换可以很容易得到下面的③式和④式：

将③④两式代入②中，并进行通分，可以得到方程并解出x的两个根：

我们再把x的根分别代入③④两式，可以分别解得y、z的各两个根：

所以，我们得到P3点的两个坐标值为：

Answer 2

可以使用向量运算和参数方程来解决。

设向量p1p2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 为直线L的方向向量。由于点P3在直线L上，可以表示为点P1与方向向量的线性组合，其中t为参数：

P3 = P1 + t * p1p2

我们需要找到合适的参数t来满足点P3与点P2的距离为d。点P3到点P2的距离可以使用向量运算求解，即计算两点之间的距离公式：

d = ||P3 - P2||

将P3的表达式代入上述公式，并根据距离等于d的条件解方程，即可求解出参数t。

具体步骤如下：

• 计算向量p1p2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

• 根据给定的点P1和方向向量p1p2，写出P3的参数方程。
  P3 = (x1, y1, z1) + t * (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

• 将P3的表达式代入距离公式 d = ||P3 - P2||，并求解出参数t。
  d = ||(x1, y1, z1) + t * (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) - (x2, y2, z2)||

• 根据求解得到的参数t，代入P3的参数方程，即可得到P3的点坐标。

请注意，根据具体的坐标值和参数d的选择，可能会有不同的解或无解情况。此外，上述步骤仅适用于直线L上的点P3，如果P3不在直线L上，则无法满足条件。

Answer 3

为了找到直线L上点p3的坐标，这个点到点p2的距离为“d”，我们可以使用向量算术。

首先，我们定义一个从p2到p1的向量v:

V = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)

接下来，我们将v归一化，找到一个表示直线方向的单位向量u:

U = v / ||v||

其中||v||是v的模。

现在，我们可以找到p3的坐标，从p2开始，沿着直线u的方向移动d:

P3 = (x2 + d * ux, y2 + d * uy, z2 + d * uz)

其中ux uy uz是单位向量u的分量。

Answer 4

已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线,求垂线长度设所求平面的法线矢量为｛A,B,C},其中A,B,C,不同时为零.因平面通过点M₁(x₁,y₁,z₁)则平面方程可写为：A（x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0.(1)M₂(x₂,y₂,z₂)和M₃（x₃,y₃,z₃)也在这个平面上,则得下列两个条件：A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0.(2)A(x₃-x₁)+B(y₃-y₁)+C(z₃-z₁)=0.,.(3)由（1）（2）（3）组成的关于A,B,C的齐次方程有非零解的条件为三阶行列式：│x
-
x₁
y
-
y₁
z
-
z₁││x₂-x₁
y₂-y₁
z₂-z
│＝0│x₃-x₁
y₃-y₁
z₃-z₁│打开这个行列式,即得平面方程Ax+By+Cz+D=0点P(x₄,y₄,z₄)到该平面的距离（即垂线长）d=│Ax₄+By₄+Cz₄+D│/√(A²+B²+C²)
.

Answer 5

向量P1P2=（x2-x1,y2-y1,z2-z1),
向量P1P=(1/3)P1P2=（（x2-x1)/3,(y2-y1)/3,(z2-z1)/3).
设P（x0,y0,z0),根据定比分点公式，
x0=(x1+λx2)/(1+λ),
y0=(y1+λy2)/(1+λ),
z0=(z1+λz2)/(1+λ),
λ=1/2,
x0=(2x1+x2)/3,
y0=(2y1+y2)/3,
z0=(2z1+2z2)/3.