平均值不等式的几个证明
平均值不等式
设 是 个正实数.则
其中 称为 的算术平均值,而 称为 的几何平均值.
证明一
当 时, 显然成立;当 时, 等价于 ,即 ,故(*)成立.
现设(*)对 成立,考虑 的情形.
记 ,则由归纳假设知
注意到 ,故 ,所以
进而 ,即可得
故(*)对 成立.
所以,对任意 ,不等式 成立.
说明 这是用第一数学归纳法的形式给出的 的一个归纳证明,技巧性是比较强的.
证明二 利用 对 成立(证明同上),由数学归纳法易证:(*)对 都成立.
事实上,若 对 成立,则 时,有
即(*)对 , 都成立.
下面来讨论n的情形:对任意 ,取 ,使得 ,并记 ,则由前面的结论,可知
结合 ,可得
进而,有 ,从而可知,(*)对 成立.
说明 这个证明思路比较自然,与前一个证明对比,都需要“凑项”.
证明三
由前面的证明知, 对 都成立,这表明存在无穷多个正整数 ,使得 成立.
现设(*)对 成立,则对 的情形,记 ,有
结合 ,就有 ,依此可推出 即(*)对 成立.
所以,(*)对任意 都成立.
说明 这里用到了“补漏洞”的思想,它是反向数学归纳法的基本应用.
反向归纳法又称为倒推归纳法.其基本结构如下:
设关于正整数 的命题(或性质) 满足:
(1)对无穷多个正整数 , 成立;
(2)由 成立可推出 成立.
则对任意 , 都成立.
证明
用反证法处理若存在 ,使得 不成立,我们用数学归纳法证明:对任意 , 都不成立(从而导出至多只有有限个 ,使得 成立,与条件(1)矛盾)事实上,由反证法假设知, 不成立.
现设 不成立,则由(2)知, 不成立(利用(2)的逆否命题).
所以,由数学归纳法原理知,对任意 , 都不成立,矛盾.
从而,反向归纳法是正确的.
对比平均值不等式的后两个证明,它们都先证明了命题对无穷多个 成立,然后在此基础上证明命题对每个 成立.
这个想法在许多场合都会用到.平均值不等式可能是数学中证明方法最多的定理,这里只是给出了利用数学归纳法证明中最常见的方法,并将这些证明的思想与方法应用于求解其他问题.
