Question

线性代数之——消元法

Answer 1

针对下面的方程，我们无法直接得到方程的解。

但如果我们将第二个方程减去第一个方程的 3 倍，上面的方程组就变成了下面这样。

这时候，我们就可以直接得到 ，进而从第一个方程得到 。

可以看到，消元之后，方程组变成了一个 上三角（upper triangular） 的形式，然后我们就可以用 回带法（back substitution） 来快速地解出方程组的解。

进行消元的那一行的第一个非零值称为 主元（pivot） ，消元时候的乘数就等于待消项的系数除以主元，在上面的例子中，乘数 。一般地，乘数可以表示为

如果我们改变了第一个方程，那么乘数就等于 。消元之后， 所有的主元都位于下三角的对角线上，并且主元不能是 0 。

这种情况下，我们遇到了 ，说明原方程组无解。从行图像中，我们也可以看到，两条平行的直线无法相交于一点。而在列图像中，两个在同一方向上的向量不可能线性组合出不在这个方向上的向量。

这种情况下，我们遇到了 ，任何的 值都满足要求，此时 是“自由”的，确定了 之后 则由第一个方程确定。

从行图像中，我们也可以看到，两条直线相同，因此整条直线都是交点。而在列图像中，左边的两个向量和右边的向量方向都相同，有无穷多个线性组合都可以产生右边的向量。

一开始，第一行的主元为 0，行交换后，我们得到了两个主元 3 和 2，然后，方程就有了正常的解。

第一步，方程 2 减去 2 倍的方程 1，得到 。
第二步，方程 3 减去 -1 倍的方程 1，得到 。
第一步，方程 3 减去 1 倍的方程 2，得到 。

三个主元分别为 2， 1， 4，然后我们就可以用回带法求出方程组的解。

对方程的两边同时进行一步消元，第 2 个方程减去第 1 个方程的 2 倍，我们可以得到：

相当于左右两边都乘以了一个矩阵

称为 初等矩阵（elementary matrix） 或者 消元矩阵（elimination matrix） ，它可以很简单地从单位矩阵演化而来， 就是将单位矩阵 位置的 0 换成消元过程的乘数 。

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