Question

什么是凹函数，什么是凸函数？

Answer 1

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凹函数、凸函数性质：

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是正值。

Answer 2

凹函数与凸函数是数学分析中的重要概念。准确的概念应该是向上凸（向下凹）或者向下凸（向上凹），如果没有这个方向，那就没有办法确定函数的凹凸了。

Answer 3

若f(Ⅹ1)+f(X2)﹥f[(Ⅹ1+X2)/2]时，为凹函数;
若f(X1)+f(X2)<f[(X1+X2)/2]时，为凸函数。