Question

高等数学：为什么那个等于1/2？

根据什么数列定义能得出是1/2？？

Answer 1

p_roust ，你好：
这是运用了极限定义的原始定义，即ε-δ语言。数列极限的ε－N定义是极限概念的基础，通常比较难理解。我现在通过从直观描述到精确的定义，逐步深入来讲述ε－N，ε－δ。
它一般是如下定义的。
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
怎么解释呢，他是说一旦一数列有极限，那么到了一定的程度，这个程度是n>N，他就与a非常接近，有多接近呢？？你想要它要多接近，它就有多接近，假如ε=10^(-200) 这足够小了，但是它仍然能够达到，只是多需要点时间，多往后找若干项。而这个项数与ε直接相关的。
另外，因为e任取，它当然可以取1/2，这个别1/2作为它们相接近的精度标准。另外他取这个1/2也是为了制造一个矛盾，及1，-1两者不可能同时落在一个区间长度为1的区间里，当然这么也可以取1/3，1/4,甚至取<1的任何数。它只要制造出一个区间长度小于2就可以了。就制造了矛盾。于是结论就不成立，他用的是反证法思想，核心就是制造矛盾。

Answer 2

当要证明一个问题是错误的时候，只要举出一个反例就足够了。
首先，我们假设了这个数列的极限时存在的。那么，根据数列的定义就有X-a的绝对值就可以小于一个非常小的数，也就是ε了。（这是定义，学好数学一定要记住公式的定义和条件）
既然如此，为什么不可以先取一个比较小的数“试试看”呢。（当然编书的或是第一个做这个证明的人，试试看的过程是不会写到书里的，这靠你自己思考）
我们亦可以这样想，编书的人太走运了。
既然都小于ε了，那么把不等式再放小，就小于1/2了。（这里其实是不等式的缩放，而1/2是上面说的理由）。
然后根据不等式，继续往前推理，“忽然”发现，与不等式等同的区间的长度小于1。而由题目知道1的任意次方不是1就是-1。所以是不可能掉到长度为1的区间的。
这样就得出你前面下的结论是错误的。

Answer 3

极限定义中ε是任意小的一个正数
他自然可以等于1/2
因为1和-1相差2
所以只要这里(a-ε,a+ε)这个区间长度小于2就行了
即ε-(-ε)<2
ε<1就行
他这里取1/2是随便取的
也可以取比如1/3或者0.65等等，都可以的

Answer 4

这里的1/2，是一个具体值，由数列定义对任意的成立，所以当为一个具体值时 也成立。