Question

有关矩阵的问题

实对称矩阵相似一定合同，如果去掉条件实对称矩阵（即相似一定合同）还成立吗？
如果不成立能否给出个反例？？

谢谢各位大侠了
首先，谢谢您对我提出问题的回答。您从定义出发，让我从理论上知道了，矩阵的相似、合同没有关系，如果能给出个实例的话，我会更加清楚的。
其次，从特征值这方面又该怎么理解呢？（因为我们在做题的时候大多数是从特征值出发的）特征值说，两个相似矩阵特的征值相等，但两个实对称矩阵合同的充要条件是正惯性指数相等。所以实对称矩阵的相似可以推合同；如果不是实对称矩阵，两个相似矩阵的特征值仍相等，如果此时的相似推不出合同，那么一定是“两个矩阵合同的充要条件是正惯性指数相等”不成立了。再具体一点就是“正惯性指数相等推不出两个矩阵合同”。那么我想问的就是：惯性指数和矩阵合同（不只限于实对称）有什么关系了？
最后，再次感谢您对我问题的回答。

Answer 1

实对称矩阵一定存在相似变换矩阵且是正交矩阵，而正交矩阵的逆等于该正交矩阵的转置，根据矩阵相似与矩阵合同的定义，若矩阵A是实对称矩阵，则一定存在正交矩阵P使得P*(-1)AP=B且P*(T)AP=B。

但是若矩阵A不是实对称矩阵，则矩阵相似与矩阵合同没有关系，因为矩阵A不一定存在变换矩阵P使得A与B相似且合同。

合同和相似是两种不同的关系，绝大多数情况下它们之间是没有什么关系的，直接按照定义理解即可。

嗯，您提的这个问题涉及到合同变换的几何性质……很抱歉的是我只了解正交变换的几何性质，倘若加入正惯性指数这个二次型理论中的概念，那么正交变换是不改变几何图形形状的一种线性变换，这种变换中包含了合同和相似的性质。两矩阵相似指两个矩阵描述了同一线性空间中的同一个线性变换，而矩阵合同的含义……实在抱歉，这个超出了我的线性代数知识范畴……