Question

有界闭区间上的连续函数一定是有界函数吗？

Answer 1

对，若函数f在闭区间上连续，则f在上有界，判断函数是否有界有三种方法：

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续，limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。

4、函数极限判断：因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

扩展资料

二元连续函数的有界性定理：

若二元函数在有界闭域上连续，则函数在上有界，即存在正数M，对于任意，有。

假设二元连续函数在有界区域D上是无界的。设D的直径为，选取D的一条直径，以该直径为边长，作一个正方形，使得D完全包含在该正方形中，然后分别连接该正方形两组对边的中点，则这两条连线会将该正方形四等分，而有界闭域D会被分为有限个小区域。

由于在有界闭域D上无界，则至少存在某个小闭域，使在该小闭域上是无界的，记该小闭域为，直径为，则，且 。

参考资料：百度百科—有界性定理