Question

为什么要研究傅里叶级数

Answer 1

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

傅里叶级数

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

傅里叶级数

奇偶性

f_o(x)

f_e(x)

奇函数，可以表示为正弦级数，而偶函数，则可以表示成余弦级数：

傅里叶级数

只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

类似于几何空间上矢量的正交分解，周期函数的傅里叶级数是在内积空间上函数的正交分解。其正交分解从?基推广到Legendre（勒让特，1775-1837）多项式和Haar（哈尔，1885-1993）小波基等，称为广义傅里叶级数。

任何正交函数系?，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：

（4），那么级数（5） 必然收敛于f(x），其中：

傅里叶级数

（6）。事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基?，向量x在?上的投影总为?。[2]